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Bananen für den Affen

Bananen für den Affen

Drei Freunde gehen auf dem Rücken ihrer Maultiere auf den Markt, um eine Ladung Bananen zu kaufen, um sie am nächsten Tag zu verteilen.

In der Nacht stand einer von ihnen auf, begann die Bananen zu zählen und machte drei Teile. Er nahm einen von ihnen und verließ den Rest (zwei andere Teile). Als er nach dem Deal eine Banane übrig hatte, gab er sie dem Affen.

Kurz darauf wachte ein anderer König auf und ging, um die Bananen zu zählen, um seinen dritten Teil zu nehmen. Nachdem er diese Menge genommen und die anderen beiden Teile verlassen hatte, sah er, dass eine Banane übrig war und gab sie dem Affen.

Endlich, fast im Morgengrauen, stand der dritte König auf, ohne zu ahnen, was seine Gefährten getan hatten, nahm den dritten Rest der Bananen und als er sah, dass eine Banane übrig war, gab er sie dem Affen und ging zu Bett.

Am nächsten Morgen standen sie auf und niemand gestand, was er in der vergangenen Nacht getan hatte, also verteilten sie die damaligen Bananen, nahmen jeweils den dritten Teil und ließen eine Banane zurück, die sie dem Affen gaben.

Was ist die kleinstmögliche Anzahl von Bananen, um alle Geschäfte abwickeln zu können?

Lösung

Wir definieren folgende Werte:

E: Gesamtzahl der Bananen (Was wir herausfinden wollen).
D: Gesamtbananen, die der erste Freund bleibt, wenn er die Nacht wirken lässt
C: Gesamtbananen, die der zweite Freund bleibt, wenn er die Nacht wirken lässt
B: Gesamtbananen, die der dritte Freund bleibt, wenn er die Nacht wirkt
A: Letzte Besetzung

Der erste Freund verteilt E - 1 Bananen zu drei gleichen Teilen und bleibt ein Teil, den wir D nennen, so dass D = (E-1) / 3 und 2 × D Bananen im Stapel verbleiben.

Der zweite Freund wiederholt die gleiche Operation mit 2 × D-1-Bananen, während er dem Affen eine Banane ausliefert. Gleichbedeutend mit dem vorherigen Fall nimmt es einen Teil für sich in Anspruch, dass wir C = (2 × D - 1) / 3 nennen und zwei andere Teile, dh 2 × C, übrig lassen.

Schließlich macht der letzte Freund eine neue Besetzung mit den verbleibenden Bananen abzüglich einer, die dem Affen geliefert wird. Damit jeder Teil B = (2 × C - 1) / 3 heißt.

Am nächsten Morgen werden die restlichen Bananen abzüglich einer, die an den Affen geliefert wird, auf die drei verteilt. Wir werden jeden der Teile A = (2 × B - 1) / 3 nennen

Wenn wir die Gleichungen zusammensetzen, haben wir Folgendes:
(81 × A + 65) / 8 = E

Es ist eine diophantische Gleichung, in der die Lösungen ganze Zahlen sind.

In diesem Fall beträgt die geringstmögliche Anzahl von Bananen, um alle Geschäfte abschließen zu können, 79.

Auf diese Weise:

- Wenn wir die Banane vom Affen entfernen, nimmt der erste Freund 78: 3 = 26 Bananen und es bleiben 79 - 1 - 26 = 52 übrig.
- Der zweite Freund, nachdem er die Banane wieder vom Affen genommen hatte, nahm 51: 3 = 17 und 52 - 1 - 17 = 34 Bananen übrig.
- Der dritte Freund, nachdem er dem Affen eine Banane übergeben hatte, nahm 33: 3 = 11 und hinterließ 34 - 1 - 11 = 22 Bananen.
- so dass sie am Morgen dem Affen eine Banane gaben und die restlichen 21 unter den drei, dh 7 Bananen, verteilt wurden.